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Cissoide di Diocle
Diocle (240-180 a.C.) fu un matematico greco che utilizzò questa curva, chiamata cissoide perchè aveva la forma che ricorda la punta di una foglia di edera, per risolvere graficamente il problema della duplicazione del cubo. L'espressione "duplicazione del cubo" si riferisce ad uno dei tre problemi classici della matematica greca: costruire con solo riga e compasso un cubo con un volume doppio rispetto a quello di un cubo più piccolo di lato assegnato. Questo implicava la costruzione di un cubo avente uno spigolo
volte più grande di quello assegnato. I matematici greci non sono mai riusciti con riga e compasso a risolvere questo problema e per questo hanno cercato altre soluzioni come quella della cissoide di Diocle. Vediamo come si può costruire una curva cissoide di Diocle in un riferimanto cartesiano. Tracciamo una circonferenza di centro O e passante per l'origine degli assi. Tacciamo due diametri AB e CD fra loro perpendicolari e a destra di C e a sinistra di C prendiamo due archi uguali CE e CE'. Per E ed E' conduciamo EG e E'F paralleli a CD. Tracciamo il segmento BE e sia H il punto di intersezione tra E'F e BE.
Facendo variare i due archi di circonferenza uguali il punto H descrive la cissoide all'interno della circonferenza che presenta una cuspide nel punto B e due rami di curva simmetrici rispetto all'asse delle x.
Si può dimostrare che comunque si prende il punto H sulla cissoide si ha:
E BF è lo spigolo del cubo di volume doppio di quello avente come spigolo FH. Diocle considerava la cissoide come una curva finita, mentre verso la metà del 1600 venne considerata come una curva infinita avente due rami infiniti che si estendono in entrambe le direzioni dell'asse delle ordinate avvicinandosi al medesimo asintoto verticale. Vediamo come si costruisce la cissoide con i due rami infiniti. Tracciamo una circonferenza di centro O e passante per l'origine degli assi e il diametro AB coincidente con l'asse delle x. Tracciamo la retta r passante per A e perpendicolare al diametra AB. Prendiamo un punto C sulla retta r e tracciamo il segmento CB e chiamiamo D il punto di intersezione tra CB e la circonferenza. Consideriamo il punto H in modo che BH=CD. Muovendo il punto C sulla retta r il punto H descrive la cissoide come curva infinita.
L'equazione cartesiana della cissoide di Diocle è:
dove la retta x=2a è l'asintoto verticale. Ad esempio, se a=1 si ottiene la seguente curva:
Le equazioni parametriche della cissoide sono:
Con GeoGebra la cissoide si ottiene:
-Generiamo uno slider r con valore minimo 0 e valore massimo 5 e incremento 0.1
-Digitiamo il comando:
Ed ecco il grafico:
Questa curva si può ottenere in altri modi:
Come podaria di una parabola rispetto al suo vertice.
Si dice podaria di una curva C rispetto a un punto A detto polo il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte da A alle tangenti alla curva stessa; la curva C è detta antipodaria della podaria ottenuta. Tracciamo la parabola di equazione y=x2/8 nel piano cartesiano e indichiamo con V il suo vertice. Prendiamo un punto A sulla parabola e tracciamo la tangente t alla parabola passante per A. Tracciamo la retta normale alla tangente e passante per V e indichiamo con B il loro punto di intersezione. Il luogo tracciato da B al variare delle tangenti alla parabola è la cissoide di Diocle. Il punto V è il polo della podaria, mentre il punto B è il piede delle rette normali alle tangenti alla parabola passanti per il polo V.
Come luogo dei punti simmetrici del vertice di una parabola rispetto alle tangenti della parabola.
